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ja tive problema bem parecido e o o problema era era nada menos que a bateria,pois como mencionado é um aparelho antigo e as bateria ficam fracas e não carrega mais,infelizamente acontece muito em iphone 4 e 4s.

O iPhone 4 já tem 9 anos de lançado, o mais provável é bateria defeituosa!
A bateria custa uns R$30, vai num destes quiosques que vendem baterias e acessórios nos shoppings, que eles geralmente trocam a bateria e até verificam se o problema é no carregador.