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Primeiramente vc precisa de uma internet boa, o AP não vai fazer milagre. Se ela for boa e o roteador utilizado for compatível com esta velocidade ok, primeira parte concluída. Depois vc tem q verificar se a antena utilizada realmente tem esse raio de abrangência (lembrando q vc tem perdas nas conexões, no cabo, etc..). Isso basta para sua rede funcionar.
Acessar a internet, independente do modo, é uma troca de informações, vc envia e recebe dados, portanto sim, "os dois lados tem que conseguir enviar o sinal".
O conceito é raio de abrangência e potência do sinal, se vc está dentro do raio de alcance da antena e o sinal estiver bom vc irá conseguir acessar a web. Obviamente que quando mais perto da antena melhor o sinal.

É como o amigo ai de cima falou, primeiramente a internet tem que ser boa e para uma cobertura perfeita terá que colocar as antenas em pontos estratégicos ou melhor coloque dois roteadores em pontos diferentes irá ficar bom. Qual é a velocidade da internet download/upload?

Mas fica a pergunta se eu utilizar uma antena e roteador que espalhe o sinal por 200 metros em volta da casa, digamos que eu esteja com meu smartphone e ele receba o sinal da antena, na internet ele vai ter que enviar sinal para o roteador, nesse caso o sinal chega até a antena? Os dois lados tem que conseguir enviar o sinal para esses 200 metros, ou só a antena principal que tem que fazer isso?

Utilize um roteador profissional daqueles utilizados em provedores via rádio irá resolver o seu problema,instale mais de uma antena para espalhar o sinal